Nella Quinta Puntata dei Dialoghetti di Telefosoro (qui) nell’ormai lontano 2013 avevo offerto ai nostri utenti una versione parafrasata e leggermente modificata della prova ontologico-logica costruita da Kurt Gödel negli anni  ‘70  del secolo scorso ma pubblicata solo nel 1987, cioè nove anni dopo la sua morte (Kurt Gödel (1995). « Ontological Proof ». Collected Works: Unpublished Essays & Lectures, Volume III. pp. 403–404. Oxford University Press. (ISBN 0-19-514722-7)) .

È, quella di Gödel, una dimostrazione che usa concetti e simbologia di logica modale (ad esempio il simbolo ◻  per ciò che non può non essere vero, cioè “necessario”;  ◊ per ciò che potrebbe essere vero, cioè “possibile”; e ∃ che si riferisce all’esistenza)

Vorrei presentare e discutere la dimostrazione di Gödel (-Scott) fondnadola su 1 contesto implicito con 3 assiomi, sul quale sono poi stabiliti due postulati e  date 3 definizioni, dai quali si deducono i 4 famosi teoremi:

Contesto implicito:

(a)Esiste un mondo (insieme) M i cui elementi “x”, ◊∃x xϵM, possiedono varie proprietà φ (x).

(b) Chiamiamo 𝞥 (M) l’insieme di tutte queste proprietà φ: consideriamo il sottoinsieme 𝕰 (M) di 𝞥 (M) composto dalle proprietà φ (x) che possono essere esemplificate, i.e. ◊∃x φ(x)

(c) Data una proprietà φ, chiamiamo 𝔞(φ) una sua proprietà (proprietà della proprietà) e definiamo 𝕬 (𝞥) l’insieme di tutte le proprietà 𝔞 di tutti gli elementi di 𝕰 (M).

(d) Consideriamo il sottoinsieme 𝕽(𝞥) di 𝕬 (𝞥) composto dagli elementi 𝔞(φ) che possono essere esemplificati, i.e. ◊∃φ 𝔞(φ).

(e) Definiamo l’insieme 𝕻(P) come sottoinsieme di 𝕽(𝞥) di tutte le proprietà P(φ) realmente esemplificate cioè tali che ∃φ P(φ).

In questo contesto 𝕻(P), si ipotizza e ammette che (1) 𝕻 (P) non sia vuoto e (2) che esiste almeno un P di 𝕻(P) tale che corrisponda ad una definizione di “proprietà positiva” e, cioè, soddisfi i tre assiomi seguenti:

ASSIOMA 1: {P(φ)∧◻∀x[φ(x)→ψ(x)]} →P(ψ) Ogni proprietà che si deduce da una proprietà positiva è positiva

ASSIOMA 2: P(¬φ) ↔¬P(φ) Una proprietà è “positiva” se e soltanto se la sua negazione non è “positiva”

ASSIOMA 3: P(E) Se una proprietà è “positiva “allora non può non esserla (lo è necessariamente)

Definizioni:

Tre definizioni sono proposte per chiarificare il linguaggio usato: quella di “esssenza”, quella di esistenza necessaria, e quella di ente “divino”

DEFINIZIONE  1: φ ess x⟺φ(x)∧∀ψ{ψ(x)→◻∀y[φ(y)→ψ(y)]} Si dirà che φ è un’”essenza” di x se e solamente se per ogni proprietà ψ posseduta da x allora ψ è necessariamente una conseguenza di φ

DEFINIZIONE 2: E(x)⟺∀φ [φ ess x→◻∃y φ(y)] Si dirà che l’esistenza di x è necessaria se e solamente se ogni essenza φ di x è necessariamente esemplificata

DEFINIZIONE 3: G(x)⟺∀φ[P(φ)→φ(x)] Si definisce “x” come “divino”, cioè G(x), se e solamente se tutte le essenze di x, sono tali che sono solo “positive”

Postulati:

Al contesto descritto nel punto (f) di cui sopra e grazie alle nuove definizioni è possibile aggiungere due postulati supplementari:

POSTULATO 1: P(G) La proprietà “essere divino” è proprietà positiva

POSTULATO 2: P(E) L’”esistenza necessaria” è proprietà positiva”

Dimostrazione dell’esistenza di Dio:

La dimostrazione operata da Gödel procede in quattro tappe ognuna verificabile per semplice ispezione:

Dagli assiomi 1 e 2 si deduce il

TEOREMA 1: P(φ)→◊∃x[φ(x)] Se esiste una proprietà positiva è possibile che sia esemplificata

Da questo teorema e dal postulato 1 con la definizione 3 se ne deduce il

TEOREMA 2: ◊∃x G(x) La proprietà di essere “divino” è possibile che sia esemplificata

Da questo teorema e dall’assioma 3 assieme alla definizione 2 se ne deduce il

TEOREMA 3: G(x)→G ess x   Se “x” è divino allora essere “divino” è un’essenza di “x”

Da questo teorema e dal postulato 2 e tenendo conto della definizione 1 se ne deduce finalmente il

TEOREMA 4: ◻∃x G(x) La proprietà di essere “divino” è allora necessariamente esemplificata

Osservazioni :

Lo stesso anno che pubblicammo la prima serie di puntate intitolata a Telesforo e dove producemmo la nostra versione “vernacolare” della dimostrazione di Gödel nella sua quinta puntata fu provata in modo incontrovertibile e, ormai inattaccabile,  la sua validità “automatizzandola” grazie a programmi informatici capaci di formalizzare con estremo rigore ragionamenti di logica anche modale (Christoph Benzmüller et Bruno Woltzenlogel Paleo, « Gödel’s God in Isabelle/HOL », Archive of Formal Proofs,‎ 2013) .

Per essere chiari: quel che è dimostrato è che dati quel contesto quegli assiomi e quei postulati, la conclusione ne è una deduzione perfettamente coerente, quindi corretta.

Tutta la discussione gira ormai intorno alla validità della scelta di queste ipotesi.

Alcuni hanno cercato di accingersi alla critica deli assiomi scelti ( Jordan Howard Sobel (Nov 1987). “Gödel’s ontological proof”. In Judith Jarvis Thomson. On Being and Saying: Essays for Richard Cartwright. Cambridge/MA & London, England: MIT Press. pp. 241–261. ISBN ) argomentando che questi assiomi possono condurre a conseguenze indesiderate come ad un collasso logico dove tutte le proposizioni vere sarebbero necessariamente vere. La maggioranza delle critiche specialmente sul piano filosofico si concentra sul fatto che anche se non è possibile mostrare che tali assiomi siano falsi non è possibile dimostrare che siano veri.

In particolare, vorrei sottolineare la scoperta fatta nel 2014 (Christoph Benzmüller and Bruno Woltzenlogel-Paleo (2014). “Automating Gödel’s Ontological Proof of God’s Existence with Higher-Order Automated Theorem Provers” (PDF). Proc. European Conference on Artificial Intelligence. Frontiers in Artificial Intelligence and Applications. 263. IOS Press. pp. 93—98.) e che mostra la necessità nella definizione 1 qui sopra della congiunzione φ(x)∧∀ψ{ψ(x)→◻∀y[φ(y)→ψ(y)]} all’origine assente in Gödel: senza questa congiunzione, dovuta a Scott (D. Scott. Appx. B: Notes in Dana Scott’s Hand, pages 145–146. In Sobel [2004], 1972), cioè senza la necessità che una proprietà sia “posseduta” dall’elemento “x”, allora l’insieme di assiomi è inconsistente e questo è stato ridimostrato in altre formulazioni modali nel 2016 (Christoph Benzmüller and Bruno Woltzenlogel-Paleo (Jul 2016). “The Inconsistency in Gödel’s Ontological Argument: — A Success Story for AI in Metaphysics” (PDF). In Subbarao Kambhampati. Proc. 25th International Joint Conference on Artificial Intelligence. AAAI Press. pp. 936—942.).

La ragione per la quale ho preferito suddividere un contesto con i suoi assiomi e ho distinto i due postulati dai tre assiomi, anche se “formalmente” sono tutti assiomi da un punto di vista strettamente logico, è perché sono convinto che un argomento ontologico come quello di Sant’Alselmo anche nella sua versione la più compiuta come questa di Gödel (-Scott), non è solamente un argomento logico astratto dal reale ma è un ragionamento che ha senso solo se in relazione al reale stesso: in altre parole mi attengo all’applicazione del teorema all’insieme 𝕻(P). Tanto meglio se questo teorema è applicabile ad insieme più larghi ma quel che conta per me, in qualità di filosofo realista, è che si applichi a proposizioni che sono analoghe alla struttura del mondo reale.

𝕻(P) è l’insieme delle proprietà esemplificate delle proprietà anch’esse esemplificate degli elementi “x” che sono esemplificabili in M, il quale è una rappresentazione possibile del mondo reale. Infatti, M è una rappresentazione dell’insieme degli enti “x” che possono accedere all’esistenza reale. Tra tutte le proprietà φ(x) possibili, scegliamo quelle che sono esemplificabili in quanto tali e chiamiamo il loro insieme 𝕰 (M). Ad esempio, mele e arance sono enti che possono accedere all’esistenza reale, e posso dire analogicamente che il simbolo “mela” e il simbolo “arancia” sono esemplificabili in quanto tali e quindi elementi di M. Tante sono le proprietà possibili, ad esempio “essere un frutto”, “essere verde”, “essere giallo”, tra queste ci sono proprietà che possono essere esemplificate, cioè tale che è possibile trovare un elemento “x” a cui sia possibile applicare tale proprietà, ad esempio “essere verde” è esemplificabile con “mela” , “essere giallo” con “arancia”, “essere frutto” con “mela” e “arancia”.  “Essere un cubo” non è quindi una proprietà che si può esemplificare con “mele” e “arance” e quindi, in questo esempio, non potrebbe essere una proprietà appartenente a 𝕰 (M).

Nell’insieme 𝕰 (M) guardiamo adesso quali sono le proprietà di queste proprietà esemplificabili, cioè constatabili, per analogia, nel reale e tra queste scegliamo quelle proprietà di proprietà che siano esse stesse esemplificabili e definiamo un nuovo insieme 𝕻(P) di proprietà esemplificabili di proprietà esemplificabili di enti che possono essere esemplificabili, cioè analogamente che possono essere esistenti. Cioè continuando il nostro previo esempio guardiamo adesso alle proprietà di proprietà, quali proprietà hanno “essere giallo”, “essere verde”, “essere tondo”: le prime hanno, ad esempio, la proprietà di “poter essere mischiate” e ottenere così differenti varietà di verde, anzi il verde ha la proprietà di poter essere “giallo e blu mischiato”; la terza ad esempio ha la proprietà di “poter essere deformata”.  E tra queste proprietà scegliamo quelle che sono esemplificabili: ad esempio se mettiamo pochissimo giallo e otteniamo blu, non troveremo nessuna proprietà “essere verde” o “essere giallo”.

I primi tre assiomi scelti da Gödel sono sempre analogie valide nel mondo reale M, cioè questi assiomi non sono mai stati dimostrati non validi, anzi la loro non validità condurrebbe a contraddizione: essere “positivo” è una proprietà di 𝕻(P), cioè è una proprietà di proprietà che si può esemplificare. Ad esempio “essere maturo” è una proprietà che si può mostrare quando le mele e le arance hanno “il colore rosso” per le prime ed “il colore arancione” per le seconde: essere maturo può quindi essere considerato una proprietà positiva esemplificabile. In questo caso l’assioma uno è valido, ogni proprietà (ad esempio il colore rosso e arancione) che si deduce da una proprietà positiva (“essere maturo”) è positiva. L’assioma due è sempre valido anche e cioè se “essere maturo” è positivo allora “non essere maturo” non è positivo. E l’assioma tre afferma che se “essere maturo” è positivo allora nel micro-mondo M del nostro esempio non ci sono casi di arance e mele per le quali non sarebbe positivo essere maturi.

Chiaramente con questi tre assiomi non definiamo cosa sia essere “positivo” in sé: alcuni potrebbero obiettare che “essere marci” è “positivo” e che la definizione data è solamente nominalista.

Ed è qui dove subentra la definizione 1 di essenza come proprietà posseduta da un ente: ad esempio “maturare” è una proprietà essenziale di una mela, mentre “essere verde” o “essere rossa” non lo è.  E tra queste “essenze” si definiranno con la definizione 2 quelle che non possono non essere “esemplificate” : ad esempio “maturare”, “crescere”, “cambiare colore”; “cambiare sapore” sono tutte proprietà possedute dalle mele e che non possono non essere esemplificate , sono cioè necessarie. Ma anche le proprietà di 𝕻(P) che soddisfano queste due definizioni non definiscono in modo “univoco” la nozione di positività e queste possono ancora restare nominalistiche.

Per andare aldilà e superare quest’aspetto si aggiungono due postulati “essere divino” è “positivo”, “esistere necessariamente” ( non poter non esistere) è “positivo”: questi due sono postulati (quindi di pe sé arbitrari) che danno tutto il colore  alla nozione di “positivo” nella dimostrazione di Gödel (-Scott): essi setacciano per via dei primi tre assiomi tutte le proprietà di 𝕻(P), distinguendo, in finis,  le proprietà positive da quelle non positive asseconda della loro coerenza, o assenza di coerenza, con questi due postulati. In altre parole, il teorema di Gödel-Scott si applica a quelle proprietà di proprietà del mondo reale che sono coerenti con questi due postulati.

Questo fatto fa dire ad alcuni che questa dimostrazione conduce ad un risultato triviale: cioè che l’insieme degli assiomi e postulati è l’equivalente esatto di affermare che Dio esiste. Ma questo argomento non è di per sé fondato per noi in quanto realisti (a) perché una dimostrazione logica o matematica è sempre e solo una tautologia e non potrà mai dire più di quel che è contenuto nei suoi assiomi; (b) in quanto il fatto che il mondo reale che conosciamo soddisfa (analogicamente) questi 3 assiomi e 2 postulati come lo constata il filosofo è la prova provata che il mondo reale per sua “natura” implica la necessità dell’esistenza di Dio.

Nel dialoghetto tra Telesforo, suo Nonno e suo Babbo nel 2013 avevo risentito questa necessità di ben definire 𝕻(P) facendo appello al concetto di perfezione e sostituendolo al concetto di “divino” e lasciando l’identificazione tra perfezione e divino ad un ulteriore giudizio aletico del filosofo e non alla deduzione tautologica del “logico-matematico”. La nozione di esemplificazione appare, importantissima, ad ogni momento del dialoghetto fino anche al momento dove Telesforo illustra che l’insieme degli enti reali la cui esistenza non può non esistere non è vuoto ma che contiene, come minimo, l’esperienza esistenziale della coscienza di sé, che non può non essere per ciascuno di noi preso individualmente.

La dimostrazione dell’esistenza di Dio di Gödel ha il merito di obbligarci di vagliare quanto il mondo reale, il solo che conta in questa materia, corrisponda alle analogie espresse nei 3 assiomi e 2 postulati discussi qui sopra: non quindi discussioni su quel che potrebbe essere o non essere ma su quel che è. Stranamente una dimostrazione in primo approccio di stampo platonico-ideale risulta assumere tutta la sua forza quando gli si fanno affondare le sue radici, il “contesto” di cui sopra, nel mondo reale.

 In Pace

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