Ecco un post che sicuramente non piacerà al nostro Ubi  😉

Eppure ci sembra importante precisare un punto critico molto reale che va all’incontro di una concezione, che è una credenza senza fondamento, ma che ha moltissime conseguenze nel ragionare sbagliato di molti contemporanei: credere che la logica di Boole sia l’equivalente della logica di Aristotele, mentre invece ne è solo un sottoinsieme, cioè un caso particolare.

E questo non è una questione di lana caprina, ma è davvero un problema legato allo sguardo che si porta tra il mondo ideale ed il mondo reale: cosa dimostra la veridicità di un’affermazione in ultima analisi? Il fatto di essere conforme ad un ragionamento deduttivo da principi apodittici, oppure il fatto di affermare qualcosa di vero nel reale? Ben capiamo tutti che una risposta positiva alla prima opzione genera una relazione immediatamente conflittuale con il reale ogni volta che l’idea che se ne ha non corrisponde con quello che è: è il problema di tutti gli idealismi, delle loro ideologie ed, in finis, dei loro totalitarismi.

Se invece rispondiamo con la seconda opzione, il reale sarà sempre la guida al ragionamento e questo sarà capace di utilizzare il reale ma senza andargli contro, il che, poi, è una lotta persa d’avanzo che, di solito, alla lunga costa anche vite umane.

Per secoli, la logica usata da tutti è stata quella aristotelica: da Cartesio è avvenuto un primo processo implicito di matematizzazione quando ha cercato di geometrizzarla per i suoi ragionamenti filosofici, ma Cartesio è probabilmente uno che aveva poco capito a scuola (è lo stesso che tende a confondere la nozione aristotelica di materia con quella di corpo, errore concettuale ancora molto in voga oggigiorno). Il desiderio di formalizzare sempre di più il ragionamento cercando di renderlo sempre più indipendente dal reale per verificarne il valore veritativo ha, in realtà, impoverito la logica e lo dimostreremo facilmente formalmente in questo articoletto.

La questione è infatti la seguente: è più fondata una logica basata su principi più generali oppure una basata su principi più particolari? La risposta a questa domanda retorica è ovvia. La logica aristotelica si basa sulle proprietà stesse dell’essere stesso in quanto reale: orbene non c’è niente di più generale che l’essere. Una logica basata su principi apodittici, ad esempio sull’apodittica necessità di una logica di dover essere indipendente dal fatto che una cosa esista, è chiaramente un caso particolare della prima ed è quindi meno generale quanto alla sua attinenza al reale. La logica secondo Boole, che è un tipico, ma non unico, esempio di questo caso, non potrà quindi mai essere tanto generale quanto la logica aristotelica.

Illustriamo adesso con due esempi quel che intendiamo dire, sempre nel quadro di una logica che corrisponde al reale che sperimentiamo sempre e cioè che qualunque ente  è quello che è in atto e non è quello che non è in atto e non c’è nessuna terza possibilità (questo fondamento non è mai stato contraddetto e, anzi, una contraddizione non sarebbe neppure conoscibile, in quanto un ente che sarebbe in atto e non sarebbe in atto sotto lo stesso aspetto al contempo non può essere oggetto di conoscenza, quindi non sarebbe nemmeno conoscibile, come non è conoscibile un triangolo cubico).

(1) Sillogismo BArbArA

Prendiamo l’esempio seguente:

Maggiore: Tutti gli italiani (termine Medio)  sono europei (termine Predicato) ;

Minore: Tutti i romani (termine Soggetto) sono italiani (termine Medio)

Conclusione: Tutti i romani (S) sono europei (P)

La dimostrazione della validità di questo tipo di sillogismo (tradizionalmente chiamato Barbara) può essere fatta in vari modi: sia attenendoci al reale cioè constatando prima che, effettivamente, tutti gli italiani sono europei, si va poi  verificare che tutti i romani siano davvero italiani e se ne deduce, quindi, che, effettivamente, sono europei. La dimostrazione di questo sillogismo è dunque fatta attraverso la prova nel reale esistente: bisogna assolutamente sperimentare la veridicità del termine medio per validare il sillogismo.

Si può anche stabilire un modello formale: cioè affermando Se tutti gli elementi “m” di M sono elementi di P e Se tutti gli elementi “s” di S sono elementi di M, allora tutti gli “s” solo elementi di P. L’aristotelico accetta questa formulazione come equivalente e biunivoca alla prima che ne diventa un caso particolare.

Il secondo modo per dimostrare la validità di quest’affermazione è di farla discendere da principi logici apodittici a priori con ragionamenti ideali: il mondo ideale essendo un sottoinsieme del mondo reale, in quanto mondo reale già pensato, che lo ingloba in quanto può anche non essere già stato pensato anche se in principio pensabile, per sua natura questo tipo di ragionamento non può includere a priori tutto il reale. Boole nel XIX secolo ha costruito un modello matematico di questo sillogismo BArbArA: ha stabilito una corrispondenza matematica tra i valori vero e non vero e 1 e 0  e scrivendo quindi la seguente equazione:

Maggiore : 0=M*(1-P), cioè in “italiano” e per riprendere l’esempio di cui sopra , ” non è vero(0) che (=) ci siano italiani (M) che anche (*) non siano europei (1-P)”;

Minore: 0=S*(1-M), cioè, “non è vero che ci siano romani che anche non siano italiani”

Conclusione: 0=S*(1-P) cioè “non è vero che ci siano romani che anche non siano europei”. Questa conclusione si dimostra dalla maggiore e dalla minore perché, in generale, quando si hanno due equazioni a*y+b=0 e c*y+d=0 e si vuole eliminare “y” (y=-b/a eppoi c*(-b/a)+d=0 e quindi) si ha a*d-b*c=0, cioè in questo caso a=(1-P) , b=0, c=-S, d=S e quindi abbiamo proprio S*(1-P)=0

L’interesse di questo risultato matematizzato è che, in seguito alla sua matematizzazione, lo status esistenziale del termine medio non ha più nessuna importanza: il che vuol dire che nel mondo ideale di questa logica matematizzata questa equazione rappresenta che il fatto che ci siano o no italiani è del tutto irrilevante al fatto che i romani siano europei, mentre ciò non lo sarà mai per un aristotelico che è attento al reale in quanto tale.

(2) Sillogismo DArAptI

Prendiamo adesso un altro sillogismo di logica aristotelica (chiamato tradizionalmente Darapti)

Maggiore:  Tutti i residenti italiani (termine Medio)  vivono geograficamente in Italia (termine Predicato)

Minore:  Tutti i residenti italiani (termine Medio)  sono residenti europei (termine Soggetto)

Conclusione: Allora esistono alcuni  residenti europei (S) che vivono geograficamente in Italia (P)

Questa frase è assolutamente vera per chiunque conosca l’esistenza dell’Italia, degli italiani e degli europei .

Possiamo scriverla formalmente come l’altra: Se tutti gli elementi “m” di M sono elementi di P e Se tutti gli elementi “m” di M sono elementi di S, allora esistono alcuni “s” elementi di P. L’aristotelico accetta questa formulazione come equivalente e biunivoca alla prima che ne diventa un caso particolare, ma sempre alla condizione che almeno un elemento di M esista nel reale: la funzione esistenziale di questo termine medio è assolutamente necessario per rendere la conclusione sempre veritativa.

Eppure questa affermazione che è sempre vera quando M esiste non può essere dimostrata matematicamente dall’algebra di Boole: in effetti:

Maggiore: 0=M*(1-P), cioè in “italiano” e per riprendere l’esempio di cui sopra , ” non è vero che ci siano al contempo residenti italiani che non vivano geograficamente in Italia”;

Minore: 0=M*(1-S), cioè “non è vero che ci siano al contempo residenti italiani che non siano residenti europei “

Conclusione: la conclusione booleana per questo tipo di sillogismo è indecidibile, infatti la formula di cui sopra a*d-b*c=0 avrebbe con a=(1-P), b=0, c=(1-s) e d=0  un valore sempre uguale 0 per qualunque valore di P e di S, mentre P*S è sempre vera secondo la logica aristotelica, se M esiste.

Ci sono ben quattro sillogismi come Darapti che sono veri e comprovati nel reale quando si pongono in esistenza ma non riconducibili ad una struttura di tipo booleana per la quale sono indecidibili. Questo mostra quindi quanto la logica aristotelica (ed i suoi sviluppi medievali) sia più generale con 19 sillogismi di quella booleana che con soli 15 ne è quindi un caso particolare ristretto a quelle situazioni dove il medio termine non è importante in quanto tale come anche l’esplicita esistenza di alcuni elementi in certi termini.

Il fatto che la logica matematizzata secondo Boole non sia una logica universale lo dimostra che non è capace di tener conto della logica della meccanica quantistica, la quale è anch’essa un altro caso particolare della logica aristotelica, con strutture a traliccio logiche perfettamente aristoteliche ma assolutamente non booleane, come lo abbiamo già esposto mesi fa su questo stesso blog in dettaglio.

Tra l’altro le strutture logiche della meccanica quantistica rendono perfettamente conto di un sillogismo del tipo Darapti, il che ci indica, se bisogno ancora ci fosse, che non c’è bisogno di creare ed inventare nuove logiche apodittiche, astruse e contro il senso comune per rendere conto del reale: basta, semplicemente, attenersi alla logica del reale in quanto tale.

Possiamo quindi concludere che la logica matematica, qualunque essa sia, non è che una semplificazione ed un caso particolare, quindi solo un modello, di una logica veritativa del reale, alla quale invece pienamente partecipa quella aristotelica, con tutto quel che ne consegue.

In Pace

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